O Teorema de Cauchy-Goursat

“Certo dia um matemático famoso me disse que em análise existem só dois métodos, os métodos diádicos e os métodos por integração por partes” (Outro matemático famoso)

Em geral os livros dizem que o teorema de Cauchy-Gousart não pode ser provado via o teorema de Green pela falta de regularidade. Meu colega Felipe Acker me mostrou um artigo de sua autoria, onde ele defende que isso não é verdade e dá uma prova via Green. Eu achei o artigo muito bacana, e vou expor aqui rapidamente, porém acredito que os dois pontos de vista são corretos.

As provas clássicas fazem uso de um dos melhores métodos em análise harmônica: a decomposição diádica. Ela se baseia em olhar os objetos em subpeças cada vez menores (talvez, partindo as peças originais em duas partes, daí o nome) e estudar a propriedade desejada nessas subpeças e esperar que ao olhar em escalas cada vez menores, se possa identificar a causa da propriedade. Muito vago, eu sei, vou apresentar depois a prova clássica e espero que as afirmações fiquem mais claras.

A prova do Felipe se baseia na tentativa de estender o teorema do valor médio como uma igualdade em dimensões mais altas e com isso entender o motivo pelo qual não se fazia o uso correto do teorema de Green, na prova do teorema de Cauchy-Gousart. De qualquer forma, ele tenta imitar a prova do teorema fundamental do cálculo com o uso da (igualdade) do valor médio. Mas como podemos observar, o teorema fundamental do cálculo é uma espécie de integração por partes (tá, de certa forma o que eu to falando é bobagem ).

Onde em na verdade temos o termo de bordo do intervalo uma vez que o vetor normal em é e o vetor normal em é . Assim como é o teorema de Green, ou mais geralmente o teorema de Stokes. De qualquer maneira, veremos que a prova de Felipe, ainda tem um “toque diádico”.

Bem, vou divagar aqui e fazer um comentário nada a ver (o blog é meu mesmo hehe ): como a frase acima indica, tais métodos são “faces opostas da mesma moeda”, no sentido que ao analisar uma EDP, podemos usar métodos diretos pra obter novas estimativas integrais, via integração por partes ou mesmo via métodos diádicos (talvez tendo que recorrer a uma análise diádica nos modos de Fourier). Nesse ponto de vista, é interessante ver neste teorema como os dois métodos são eficazes.

Aplicações Harmônicas

“Be wise, generalize.” (Reed and Simon)

Como estava na China, e lá o acesso ao wordpress é bloqueado, os posts estão atrasados. Anyway, vamos lá.

Há algumas semanas atrás, meu primeiro aluno de mestrado defendeu sua dissertação, e nem preciso dizer que estou feliz com isso. Até porque o assunto é interessante e tem como extensão o, tão famoso hoje em dia, fluxo de Ricci.

Funções harmônicas tem um reconhecido impacto e importância em matemática, tanto em EDPs, holomorfia (p.ex. superfícies de Riemann), Análise Harmônica, Geometria entre outras.

Em sua forma mais simples considera-se uma função com Laplaciano identicamente nulo, mais geralmente considera-se uma variedade Riemanniana e uma função tal que o operador de Laplace-Beltrami da variedade Riemanniana aplicado a se anula em todos os pontos.

No primeiro caso temos a seguinte equação:

Que é equivalente a:

Traço (

No segundo caso, temos uma expressão semelhante envolvendo a métrica .

Uma pergunta natural é se o conceito de harmonicidade se estende para aplicações e não somente para funções. Isto é dada uma aplicação entre duas variedades Riemannianas, o que é o conceito de harmonicidade.