Aplicações Harmônicas

“Be wise, generalize.” (Reed and Simon)

Como estava na China, e lá o acesso ao wordpress é bloqueado, os posts estão atrasados. Anyway, vamos lá.

Há algumas semanas atrás, meu primeiro aluno de mestrado defendeu sua dissertação, e nem preciso dizer que estou feliz com isso. Até porque o assunto é interessante e tem como extensão o, tão famoso hoje em dia, fluxo de Ricci.

Funções harmônicas tem um reconhecido impacto e importância em matemática, tanto em EDPs, holomorfia (p.ex. superfícies de Riemann), Análise Harmônica, Geometria entre outras.

Em sua forma mais simples considera-se uma função com Laplaciano identicamente nulo, mais geralmente considera-se uma variedade Riemanniana e uma função tal que o operador de Laplace-Beltrami da variedade Riemanniana aplicado a se anula em todos os pontos.

No primeiro caso temos a seguinte equação:

Que é equivalente a:

Traço (

No segundo caso, temos uma expressão semelhante envolvendo a métrica .

Uma pergunta natural é se o conceito de harmonicidade se estende para aplicações e não somente para funções. Isto é dada uma aplicação entre duas variedades Riemannianas, o que é o conceito de harmonicidade.

Olhando a segunda formulação, observamos que precisamos saber derivar duas vezes a aplicação e tomar um traço. O traço não tem problema, uma vez que a variedade possui uma métrica Riemanniana. A noção de derivada segunda já é mais complicada, e nota-se que de alguma maneira ela deve envolver a métrica da variedade de chegada. Um meio de resolver isto é trazer para o fibrado tangente de e considerar então a diferencial de como:

Neste espaço temos naturalmente uma métrica e uma conexão definidas por:

Onde, e são a métrica e a conexão do fibrado dual de , é a métrica de e $\nabla^f$ é a conexão induzida por $f$.

Com isso, temos a derivada segunda, que é chamada de segunda forma fundamental de :

Finalmente temos a noção de Laplaciano e aplicação harmônica, é harmônica se o campo de tensão de se anula, onde o campo de tensão é:

De fato esta definição generaliza diversos exemplos encontrados em geometria, se é harmônica então:

• Se então é função harmônica clássica.
• Se então é função harmônica para o operador de Laplace-Beltrami de .
• Se então é uma geodésica de .
• Se e é uma imersão isométrica então é superfície mínima.
• Se e são superfícies de Riemann então é (anti) holomorfa.

Tais funções harmônicas também são pontos críticos do funcional de energia natural. Seja e uma variação, considere o campo variacional associado, isto é,

Definindo a energia destes mapas como (note que a norma é tomada com a métrica :

Então a fórmula de primeira variaçao é:

Daí, vemos que as aplicações harmônicas são pontos críticos do funcional de energia.

A pergunta natural é quando tais funções existem. Temos então o teorema:

Teorema (Eells e Sampson): Se são compactas e tem curvatura não-positiva então toda aplicação contínua é livremente homotópica a uma aplicação harmônica .

A idéia é que pela fórmula da primeira variação o campo de tensão funciona como e portanto, se procurarmos por um mínimo do funcional energia, este será um ponto crítico e portanto uma função harmônica. Logo, podemos tentar aplicar o chamado “método do fluxo do calor”.

Isto é, considere como condição inicial da seguinte equação diferencial:

Resulta que esta equação é uma equação diferencial parcial de segunda ordem parabólica não linear. Portanto, nào é claro a existência de soluções fortes globais. O ponto é que se pudermos mostrar que o fluxo existe globalmente e tende a uma singularidade, então o fluxo definirá uma homotopia livre entre a condiçào inicial e a singularidade que já vimos que é harmônica.

Os detalhes estão na dissertação do Adilson que envolve diversas técnicas de EDPs não triviais, como o princípio do máximo, estimativas Schauder eliticas e parabólicas, bem como ferramentas geométricas pra controlar o campo de tensão ao longo da evolução do fluxo, o qual é obtido por fórmulas de Weitzenböck generalizadas para equações parabólicas.

Enfim, acredito que o texto está bem instrutivo e vale a pena ler. Seeya!