O Teorema de Cauchy-Goursat

“Certo dia um matemático famoso me disse que em análise existem só dois métodos, os métodos diádicos e os métodos por integração por partes” (Outro matemático famoso)

Em geral os livros dizem que o teorema de Cauchy-Gousart não pode ser provado via o teorema de Green pela falta de regularidade. Meu colega Felipe Acker me mostrou um artigo de sua autoria, onde ele defende que isso não é verdade e dá uma prova via Green. Eu achei o artigo muito bacana, e vou expor aqui rapidamente, porém acredito que os dois pontos de vista são corretos.

As provas clássicas fazem uso de um dos melhores métodos em análise harmônica: a decomposição diádica. Ela se baseia em olhar os objetos em subpeças cada vez menores (talvez, partindo as peças originais em duas partes, daí o nome) e estudar a propriedade desejada nessas subpeças e esperar que ao olhar em escalas cada vez menores, se possa identificar a causa da propriedade. Muito vago, eu sei, vou apresentar depois a prova clássica e espero que as afirmações fiquem mais claras.

A prova do Felipe se baseia na tentativa de estender o teorema do valor médio como uma igualdade em dimensões mais altas e com isso entender o motivo pelo qual não se fazia o uso correto do teorema de Green, na prova do teorema de Cauchy-Gousart. De qualquer forma, ele tenta imitar a prova do teorema fundamental do cálculo com o uso da (igualdade) do valor médio. Mas como podemos observar, o teorema fundamental do cálculo é uma espécie de integração por partes (tá, de certa forma o que eu to falando é bobagem ).

Onde em na verdade temos o termo de bordo do intervalo uma vez que o vetor normal em é e o vetor normal em é . Assim como é o teorema de Green, ou mais geralmente o teorema de Stokes. De qualquer maneira, veremos que a prova de Felipe, ainda tem um “toque diádico”.

Bem, vou divagar aqui e fazer um comentário nada a ver (o blog é meu mesmo hehe ): como a frase acima indica, tais métodos são “faces opostas da mesma moeda”, no sentido que ao analisar uma EDP, podemos usar métodos diretos pra obter novas estimativas integrais, via integração por partes ou mesmo via métodos diádicos (talvez tendo que recorrer a uma análise diádica nos modos de Fourier). Nesse ponto de vista, é interessante ver neste teorema como os dois métodos são eficazes.

Primeiro enunciaremos o teorema:

Teorema (Cauchy-Gousart): Seja um aberto, uma função holomorfa e um retângulo fechado contido em então:

1)Prova Diádica:

Dado um retângulo , definimos:

e a massa de como .

Dividindo o retângulo em quatro iguais temos então que:

Então algum destes retângulos tem pelo menos da massa de . Daí, repetindo o processo, obtemos uma sequência de retângulos , encaixada, cada um com pelo menos da massa do anterior (aqui está a informação vindo do método diádico). Em particular:

.

Mas então os retângulos convergem à um certo . Como a integral de e se anulam no bordo de qualquer retângulo temos que:

Onde a primeira desigualdade ocorre por holomorfia se é grande (e portanto o retângulo é muito pequeno). Na segunda, é a diagonal do retângulo (majorando ) e é o perímetro do retângulo.

Mas então como e (comparando com ). Logo:

E pela informação diádica:

2)Prova por integração por partes:

Esta prova usará a linguagem de formas diferenciais e o teorema de Green, que são vistos em cursos básicos de análise no .

Para estabelecer notação, um retângulo será um conjunto da forma e denotaremos a área do retângulo por .

A prova começa com a seguinte observação. Sejam um aberto do plano complexo, contínua e uma sequência de retângulos semelhantes, encaixados, com  e contendo o ponto $u_0$.  Considere a forma gerada por , se é diferenciável em entãp:

Basta escrever , onde (que é ) e quando , dada pela diferenciabilidade. Considere também e as formas diferenciais geradas.

Como os retângulos são semelhantes então:

E aplicando o teorema de Green na forma em  , temos que:

O que demonstra a observação.

Com base nisto, dado um retângulo vamos denotar por , dizemos que uma forma definida em é contínua se a função:

O lema “diádico” necessário é o seguinte.

Lema: Seja uma forma contínua num retângulo então existe um retângulo contido no interior de cujos lados tem um terço do comprimento dos lados de e

A prova usa uma espécie de teorema do valor intermediário, movendo um pouco os retângulos. Definindo uma derivada de  em como se existe uma sequência de retângulos com antes, cuja área tende a zero tal que . Com isto ele consegue o:

Teorema do Valor Médio: Nas hipóteses do lema anterior,  se a forma tem uma derivada em todo ponto então existe um ponto tal que:

Prova: O lema nos dá uma sequência de retângulos encaixados que convergem a um ponto (pois o diâmetro tende a zero) e satisfaz a igualdade. Tal ponto é o procurado.

Em particular temos que:

Como corolário, temos que se são contínuas e diferenciáveis (não necessáriamente ) tais que é Riemann integrável então:

E daí tem-se o teorema de Cauchy-Goursat.

“Certo dia um matemático famoso me disse que em análise existem só dois métodos, os métodos diádicos e os métodos por integração por partes” (Outro matemático famoso)