Persistência de Atratores

Hoje vou falar de um resultado de Flávio Abdenur, sobre atratores.

Lembrando, um atrator é um conjunto compacto invariante (como sempre), que… atrai alguém! Isto é, existe uma vizinhança do atrator que é contraída () e de fato esta vizinhança faz parte da bacia de atração:

Pedimos também que o conjunto seja transitivo, para evitar futuras decomposições. Lembro também que dizer que uma propriedade vale genericamente é dizer que ela vale para um subconjunto residual de difeomorfismos. No caso, usamos a topologia .

Teorema. Genericamente, se é um atrator de $f$ então existem vizinhanças do atrator e do difeomorfismo tal que se então

é um atrator.

Mais ainda, este atrator esta próximo do original (na topologia de Hausdorff).

Hiperbolicidade e Quasi-Anosovs

“Alexander, na Teoria Ergódica, se alguma coisa vai para o infinito, em geral ela vai exponencialmente rápida para o infinito. (A wise Advisor)”

Sabemos que um fluxo é hiperbólico se existe uma decomposição

onde possui contração exponencial e possui expansão exponencial.

Porém, é possível relaxar esta condição da seguinte maneira.

Seja um campo de vetores e o fluxo gerado. Definimos, por o conjunto de vetores tais que o conjunto é limitado. Analogamente, definimos o conjunto , tomando .

Dizemos que o fluxo é quasi-Anosov se .

Teorema: Todo fluxo quasi-Anosov é hiperbólico. E portanto,

.