Hiperbolicidade e Quasi-Anosovs

“Alexander, na Teoria Ergódica, se alguma coisa vai para o infinito, em geral ela vai exponencialmente rápida para o infinito. (A wise Advisor)”

Sabemos que um fluxo é hiperbólico se existe uma decomposição

onde possui contração exponencial e possui expansão exponencial.

Porém, é possível relaxar esta condição da seguinte maneira.

Seja um campo de vetores e o fluxo gerado. Definimos, por o conjunto de vetores tais que o conjunto é limitado. Analogamente, definimos o conjunto , tomando .

Dizemos que o fluxo é quasi-Anosov se .

Teorema: Todo fluxo quasi-Anosov é hiperbólico. E portanto,

.

Note que por compacidade da variedade, temos que existe tal que para todo existe tal que

Isto implica que todo campo próximo também é quasi-Anosov.

O primeiro milagre é mostrar que a limitação pode evoluir para quase-convergência a zero!

Proposição 1: Se então .

Prova. Se não, usando a definição de quasi-Anosov temos que existem tais que para todo temos:

Assim, exsiste e . Portanto, para todo

E isto contradiz o fato do fluxo ser quasi-Anosov.

O segundo milagre é que a informação qualitativa se torna uma informação quantitativa robusta!

Proposição 2: Se está próximo de então para todo temos que

Prova. Pela abertura temos que para todo existe $latex -T\leq t\leq T$ tal que

Fixe  e .  Por compacidade,  tome tal que:

$latex \|DY_{t_0}(v)\|=\sup_{t\in[0,t_2]}\|DY_t(v)\|.$

Portanto, como $latex -t_1\leq t\leq t_2-t_1$ implica temos que, . Daí, ou ou $t_2-t_1<T$.

No primeiro caso, temos que

E no segundo caso

Isto prova a proposição.

Prova do Teorema

Pelo algoritmo de Euclides basta encontrar um uniforme tal que

Como o fluxo é quasi-Anosov temos que existe tal que:

Pela condição do liminf, temos que para todo , existe , grande, tal que

.

Logo, pela proposição anterior temos que:

Defina . Suponha que existe proximo a e tal que

Daí, para qualquer temos que

Isto implica que

Por outro lado se , temos que , e portanto

Um absurdo.