Entropia Positiva para Fluxos Geodésicos I: o caso da esfera

E aí povo. Hoje vamos falar sobre um resultado devido a Contreras-Paternain.

O resultado versa sobre o fluxo geodésico de uma variedade. Ele é construído da seguinte forma, seja uma métrica Riemanniana (pelo menos ) sobre a variedade . Dado um ponto e uma direção (unitária) temos uma única geodésica parametrizada por comprimento de arco,  que passa pelo ponto com velocidade , por exemplo no tempo .

O fluxo geodésico é definido no fibrado unitário , da seguinte forma

Note que se é uma superfície então o fluxo geodésico ocorre numa variedade tri-dimensional. Mais ainda, é conhecido que o fluxo geodésico preserva uma forma de volume (conhecida como a medida de Liouville), o que permite usar teoria ergódica, se for preciso.

Como todo bom fluxo, é possível quantificar sua complexidade através da entropia topológica. Porém, neste caso ela ganha um significado geométrico interessante através da fórmula de Mañé:

Onde é o número de geodésicas que ligam a com comprimento menor que . Em particular, entropia positiva implica crescimento exponencial de tais arcos! (É possível melhorar este resultado, mas deixa pra lá ).

Assim, ter entropia positiva é legal. Um jeito de criar entropia é a presença de ferraduras dentro do sistema. E como é conhecido, ferraduras estão associadas com a presença de pontos homoclínicos transversais. Isto é, quando existe , órbita periódica hiperbólica cuja variedade estável intersecta transversalmente a variedade instável em algum ponto distinto de .

Por definição a variedade estável de é obtida como o conjunto de pontos cujo omega-limite é o ponto . O mesmo para variedade instável, considerando alpha-limite.

O teorema que iremos comentar é:

Teorema: O conjunto de métricas em ou cujo fluxo geodésico tem entropia positiva é denso na topologia .

Uma pergunta natural é o que acontece com outras superfícies. Bem, Dinaburg mostra que toda métrica sobre uma superfície com característica de Euler negativa tem entropia positiva. Sobrou o toro, a garrafa de Klein, a esfera e o espaço projetivo. No toro e na garrafa de Klein a densidade de métricas com entropia positiva segue da combinação de vários resultados e iremos comentar depois. E então isso mata todos os casos.

Claramente, o que sobra é provar isso para variedades com dimensão alta. Mas isso é objetivo do próximo post.

De fato, tal teorema está relacionado com resultados de Mañé, sobre a conjectura da estabilidade. De fato, se definimos como o conjunto de métricas tais que numa vizinhança dessa métrica todas as órbitas periódicas do fluxo geodésico gerado por essas métricas são hiperbólicas então temos hiperbolicidade. Isto é,

Teorema. Se  então é um conjunto hiperbólico.

O que se espera é que este conjunto seja toda a variedade. Isto sairia, se houvesse um closing lemma para fluxos geodésicos, e misturando isso com recorrência de Poincaré.

Conjectura. Se então o fluxo geodésico de é Anosov.

No que segue iremos dar uma idéia da prova desses teoremas e também como se relacionam.

Começamos com a hiperbolicidade de órbitas periódicas. Dizemos que uma órbita periódica é não-degenerada se 1 não é autovalor da derivada do mapa de Poincaré associado.  Uma métrica é bumpy se todas as órbitas periódicas são não-degeneradas.

Como uma geodésica fechada pode ser na verdade um iterado de uma outra geodésica mais curta então a métrica é bumpy se nenhuma raíz da unidade é autovalor da derivada do mapa de Poincaré. Em direção ao análogo do teorema de Kupka-Smale temos o seguinte

Teorema (bumpy metric): O conjunto de métricas bumpy de classe com é residual no espaço de métricas.

Em particular, nesse residual o conjunto de órbitas periódicas de período menor que é finito. Ah! Outra observação meio idiota é que o fluxo geodésico nunca tem singularidades.

OBS: No caso do toro ou a garrafa de Klein,  uma vez que você tem uma métrica bumpy, por Hedlund e Morse, isso implica a existência de geodésicas heteroclínicas. Daí, usando as técnicas de Donnay-Petroll, a interseção pode ser tomada transversal. E daí aparece o conjunto hiperbólico.

A técnica de Donnay-Petroll junto com a enumerabilidade de órbitas periódicas para métricas bumpy implica o seguinte resultado (novamente do tipo Kupka-Smale):

Teorema: Uma métrica genérica tem todas as interseções heteroclínicas (entre órbitas periódicas hiperbólicas) transversais.

Restou nos então ou órbitas periódicas hiperbólicas ou as elipticas.  Acontece que se uma órbita é eliptica então o mapa de Poincaré dessa órbita é um mapa twist.

Isto é, na seção de Poincaré  aparece um anel tal que a função é sempre estritamente monótona, onde é a projeção na segunda variável e é o mapa de Poincaré da órbita eliptica.

Da condição twist, Le Calvez consegue obter um ponto homoclínico! E isto gera entropia positiva:

Teorema (Le Calvez): Se é um difeomorfismo twist no anel, que preserva área, a forma no anel é exata, todos os pontos periódicos não tem nenhuma raíz da unidade como autovalor da derivada e cujas interseções heteroclínicas são todas transversais (lembre que poder ser vazia) então tem um ponto homoclínico.

Resulta que é possível perturbar a métrica bumpy para obter as hipóteses do teorema de Le Calvez.

Sobrou então o caso aonde órbitas elípticas não aparecem (e pra nenhum perturbado). Ou seja, voltamos ao caso . Daí a conexão mencionada antes.

Neste caso então precisamos obter hiperbolicidade. Seguindo Mañé, a hiperbolicidade robusta de pontos periódicos deveria passar pro fecho em princípio. Porém um passo intermediário é necessário, obter dominação.

Uma família de sequências periódicas de isomorfismos () é dita hiperbólica se cada sequência dentro dela é hiperbólica e é estavelmente hiperbólica se toda família suficientemente próxima dela for hiperbólica.

Note que estar em diz que (pelo menos tomando mapas de Poincaré) as derivadas sobre pontos periódicos geram uma família estavelmente hiperbólica.

Os argumentos de Mañé mostram que famílias estavelmente hiperbólicas tem dominação:

Teorema (Mañé): Se é uma família estávelmente hiperbólica então existem constantes e ta que  se é um elemento desta família então

Note que o resultado acima é puramente de Álgebra Linear. Para levar isto ao contexto de fluxos, precisamos de um lema tipo Franks, porém alerto que este resultado é difícil e é meio que central no problema (e paper) em questão.

Em geral não e fácil gerar hiperbolicidade a partir da dominação, mas aqui entra o fato que o fluxo é geodésico! Isto dá uma espécie de “estrutura simplética” pro fluxo, que será estudada.

Vejamos o que ocorre com o lema de Franks. Se é um pedaço de órbita e é uma seção transversal no começo da órbita então é possível escolher uma seção transversal tal que a derivada do mapa de Poincaré seja simplética.

Definimos como as matrizes 2×2 tais que , onde é a matriz canônica tal que .

Assim temos um mapa que a cada métrica associa uma matriz

.

Lema de Franks. Seja uma métrica e $\mathcal{U}$ uma vizinhança de . Então existe tal que fixada então a imagem de contêm uma bola de raio centrada em .

OBS: Usar o tempo 1 é só pra simplificar o enunciado.

Com o lema de Franks, então temos que a família gerada pelas órbitas periódicas é de fato estavelmente hiperbólica (se tem matrizes degenerando a hiperbolicidade, pelo lema de Franks você perturba uma delas para uma não hiperbólica e contradiz o fato de estar em .

Assim, ganha-se dominação sobre os pontos peródicos. Em seguida, estende-se os fibrados (e a dominação) para o fecho.  Acontece que estes fibrados são Lagrangianos! Isto é, a forma simplética associada se anula nesses subespaços, e uma vez que são Lagrangianos isto implica hiperbolicidade (veja por exemplo os trabalhos de Ruggiero).

Como o fecho dos periódicos é isolada então temos decomposição espectral. Isto é um conjunto finito de peças básicas cuja união é o fecho dos periódicos. Agora, se existir um número infinito de geodésicas fechadas (geometricamente distinas) então pelo menos uma dessas peças básicas tem que ser não-trivial. Aplicamos então o seguinte resultado:

Teorema (Rademacher) Genéricamente uma métrica de uma variedade compacta e com grupo fundamental finito existem infinitas geodésicas fechadas(geometricamente distintas).

Assim obtemos uma ferradura e isto implica entropia positiva!

Na próxima tentaremos ver o que ocorre em dimensões altas. Seeya!