O Teorema de Separação de Mañé

Opa! Hoje num post curtinho vou expor o teorema de separação de Mañé (sim, eu sei do Hayashi, mas o post é por esporte).

Teorema. Seja um difeomorfismo  em . é Axioma A se, e só se,  para

Onde, como sempre denota os pontos períodicos com índice e é o conjunto de difeomorfismos que não admitem pontos não-hiperbólicos numa vizinhança.

Prova. Primeiramente, estar em implica dominação nos pontos periódicos, força uniforme no período e expansão (contração) não-uniforme assintótica nos pontos periódicos.

Também implica (ok, depois escrevo sobre isto).

Por Pliss, sabemos que temos finitos poços e fontes. O que resolve o caso e . Fixe então. Chame .

Existe uma vizinhança de que o separa dos outros . Se é próximo a e coincide fora de então os outros continuam o mesmo. De fato, senão apareceria algum ponto periódico para com período em algum  que não está em .

Agora, a função definida como o número de pontos periódicos de período e com índice para é contínua (pois estamos em , e podemos tomar uma vizinhança pequena de ). Em particular, é constante. Isto contradiz o paragráfo anterior.

Com a dominação, basta provar que em todo ponto.

Se isto não acontece, temos um ponto e tal que

Daí para a medida orbital gerada por $x$ (que é invariante!!!) e a função temos que

Mas tomando a média por iterados de , obtemos uma medida invariante e metendo Birkhoff na função temos que

De fato, podemos integrar sobre intersectado com um conjunto de probabilidade total (por exemplo o do ergodic closing lemma).

Daí tem que ter um ponto genérico onde o integrando é não-negativo.

Ou seja se é menor que 1 mas próximo, temos que

Daí sai que não pode ser periódico pois a força dos periódicos é uniforme. Mesmo que não seja, você aproxima a órbita de $p$ por uma periódica por muito tempo e sombreando, via o Ergodic closing lemma. Pelo lema de Franks, a estimativa piora um pouco mas passa pra órbita periódica. E de novo dá contradição com a força forte.