Hiperbolicidade e Quasi-Anosovs

“Alexander, na Teoria Ergódica, se alguma coisa vai para o infinito, em geral ela vai exponencialmente rápida para o infinito. (A wise Advisor)”

Sabemos que um fluxo é hiperbólico se existe uma decomposição

onde possui contração exponencial e possui expansão exponencial.

Porém, é possível relaxar esta condição da seguinte maneira.

Seja um campo de vetores e o fluxo gerado. Definimos, por o conjunto de vetores tais que o conjunto é limitado. Analogamente, definimos o conjunto , tomando .

Dizemos que o fluxo é quasi-Anosov se .

Teorema: Todo fluxo quasi-Anosov é hiperbólico. E portanto,

.

Fluxos Robustamente transitivos em dimensão 3 (parte II)

Hoje continuamos a prova do teorema de Morales-Pacífico-Pujals. Lembrando que já dissemos como obter hiperbolicidade das órbitas periódicas e singularidades, estas últimas sendo do tipo Lorenz, e como obter a decomposição dominada.

Obtendo contração uniforme:

Primeiro, é um consenso geral que em teoria ergódica se algo vai pra infinito, ele vai exponencialmente rápido para infinito. Deste príncipio, é que obtemos a contração uniforme.

Mais precisamente, usando a compacidade do atrator podemos mostrar que:

então existe tal que uniformeme em .

Iterando a estimativa acima e usando o algoritmo de Euclides segue que:

Existem tais que para todo e .

Portanto a uniformidade é reduzida ao cálculo do acima. Usualmente, tentamos provar isto pro contradição, se o não é zero, então existe uma órbita com contração cada vez pior, ao longo de uma sequência de tempos, se com isto conseguirmos pertubar o sistema e obter desta sequência uma órbita não-hiperbólica, estamos feitos.

Fluxos Robustamente Transitivos em Dimensão 3

“Se uma propriedade topológica é robusta perto de um sistema então ela deve implicar em alguma propriedade diferencial para o sistema.”

Hoje irei comentar o teorema de Morales-Pacífico-Pujals, que versa sobre fluxos robustamente transitivos. Primeiramente irei definir os conceitos envolvidos no enunciado do teorema, em seguida irei contextualizar o teorema e por último irei dar uma idéia da prova do mesmo.

Seja um campo vetorial e o fluxo gerado.  Dizemos que um conjunto invariante é isolado se existe uma vizinhança tal que . Mais ainda se para então dizemos que o conjunto atrai . Caso ele seja transitivo (isto é tem uma órbita que é densa nele mesmo) então dizemos que ele é um atrator. Observe que substituindo por na definição de obtemos um conjunto que atrai mas agora para o campo (pense que está próximo de .

Tendo em vista os famosos exemplos dos atratores de Lorenz e os atratores de Lorenz geométricos, dizemos que uma singularidade é tipo Lorenz se os autovalores da derivada do campo na singularidade são reais e satisfazem as seguintes desigualdades:

A primeira diz que a singularidade é uma sela com índice 2 (logo a variedade estável é bidimensional), a segunda diz que mesmo que o autovalor fraco é contrator, o autovalor expansor ganha de tal forma que ele expande área do plando gerado pelos autovetores associados. Esta propriedade de expansão de área será fundamental.

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