O Teorema de Separação de Mañé

Opa! Hoje num post curtinho vou expor o teorema de separação de Mañé (sim, eu sei do Hayashi, mas o post é por esporte).

Teorema. Seja f um difeomorfismo  em F^1(M). f é Axioma A se, e só se,  para i\neq j

\overline{Per_i(f)}\cap\overline{Per_j(f)}=\emptyset.

Onde, como sempre Per_i(f) denota os pontos períodicos com índice i e F^1(M) é o conjunto de difeomorfismos que não admitem pontos não-hiperbólicos numa vizinhança.

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Entropia Positiva para Fluxos Geodésicos I: o caso da esfera

E aí povo. Hoje vamos falar sobre um resultado devido a Contreras-Paternain.

O resultado versa sobre o fluxo geodésico de uma variedade. Ele é construído da seguinte forma, seja g uma métrica Riemanniana (pelo menos C^2) sobre a variedade M^n. Dado um ponto p e uma direção v\in T_pM (unitária) temos uma única geodésica \gamma parametrizada por comprimento de arco,  que passa pelo ponto p com velocidade v, por exemplo no tempo t=0.

O fluxo geodésico \phi_t é definido no fibrado unitário \{(p,v)a\in TM; \|v\|=1\}, da seguinte forma

\phi_t(p,v)=(\gamma(t),\gamma'(t)).

Note que se M é uma superfície então o fluxo geodésico ocorre numa variedade tri-dimensional. Mais ainda, é conhecido que o fluxo geodésico preserva uma forma de volume (conhecida como a medida de Liouville), o que permite usar teoria ergódica, se for preciso.

Como todo bom fluxo, é possível quantificar sua complexidade através da entropia topológica. Porém, neste caso ela ganha um significado geométrico interessante através da fórmula de Mañé:

h_{top}(\phi)=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{T}\log\int_{M\times M}n_T(p,q)dpdq.

Onde n_T(p,q) é o número de geodésicas que ligam p a q com comprimento menor que T. Em particular, entropia positiva implica crescimento exponencial de tais arcos! (É possível melhorar este resultado, mas deixa pra lá :-D).

Assim, ter entropia positiva é legal. Um jeito de criar entropia é a presença de ferraduras dentro do sistema. E como é conhecido, ferraduras estão associadas com a presença de pontos homoclínicos transversais. Isto é, quando existe p, órbita periódica hiperbólica cuja variedade estável intersecta transversalmente a variedade instável em algum ponto distinto de p.

Por definição a variedade estável de p é obtida como o conjunto de pontos x cujo omega-limite \omega(x) é o ponto p. O mesmo para variedade instável, considerando alpha-limite.

O teorema que iremos comentar é:

Teorema: O conjunto de métricas em S^2 ou \mathbb{R}P^2 cujo fluxo geodésico tem entropia positiva é denso na topologia C^2.

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Persistência de Atratores

Hoje vou falar de um resultado de Flávio Abdenur, sobre atratores.

Lembrando, um atrator \Lambda é um conjunto compacto invariante (como sempre), que… atrai alguém! Isto é, existe uma vizinhança U do atrator que é contraída (\overline{f(U)}\subset U) e de fato esta vizinhança faz parte da bacia de atração:

\bigcap_{n\geq 0}f^n(U)=\Lambda.

Pedimos também que o conjunto seja transitivo, para evitar futuras decomposições. Lembro também que dizer que uma propriedade vale genericamente é dizer que ela vale para um subconjunto residual de difeomorfismos. No caso, usamos a topologia C^1.

Teorema. Genericamente, se \Lambda é um atrator de $f$ então existem vizinhanças U do atrator e V do difeomorfismo tal que se g\in V então

\bigcap_{n\geq 0}g^n(U) é um atrator.

Mais ainda, este atrator esta próximo do original (na topologia de Hausdorff).

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Hiperbolicidade e Quasi-Anosovs

“Alexander, na Teoria Ergódica, se alguma coisa vai para o infinito, em geral ela vai exponencialmente rápida para o infinito. (A wise Advisor)”

Sabemos que um fluxo é hiperbólico se existe uma decomposição

E^s\oplus\langle X\rangle \oplus E^u

onde E^s possui contração exponencial e E^u possui expansão exponencial.

Porém, é possível relaxar esta condição da seguinte maneira.

Seja X um campo de vetores e X_t o fluxo gerado. Definimos, por E_x o conjunto de vetores v\in T_xM-\langle X\rangle tais que o conjunto \{DX_t(v)\}_{t\geq 0} é limitado. Analogamente, definimos o conjunto F, tomando t\leq 0.

Dizemos que o fluxo é quasi-Anosov se E_x\subset F_x=\{0\}.

Teorema: Todo fluxo quasi-Anosov é hiperbólico. E portanto,

T_xM=E\oplus\langle X\rangle \oplus F.

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O Teorema de Cauchy-Goursat

“Certo dia um matemático famoso me disse que em análise existem só dois métodos, os métodos diádicos e os métodos por integração por partes” (Outro matemático famoso)

Em geral os livros dizem que o teorema de Cauchy-Gousart não pode ser provado via o teorema de Green pela falta de regularidade. Meu colega Felipe Acker me mostrou um artigo de sua autoria, onde ele defende que isso não é verdade e dá uma prova via Green. Eu achei o artigo muito bacana, e vou expor aqui rapidamente, porém acredito que os dois pontos de vista são corretos.

As provas clássicas fazem uso de um dos melhores métodos em análise harmônica: a decomposição diádica. Ela se baseia em olhar os objetos em subpeças cada vez menores (talvez, partindo as peças originais em duas partes, daí o nome) e estudar a propriedade desejada nessas subpeças e esperar que ao olhar em escalas cada vez menores, se possa identificar a causa da propriedade. Muito vago, eu sei, vou apresentar depois a prova clássica e espero que as afirmações fiquem mais claras.

A prova do Felipe se baseia na tentativa de estender o teorema do valor médio como uma igualdade em dimensões mais altas e com isso entender o motivo pelo qual não se fazia o uso correto do teorema de Green, na prova do teorema de Cauchy-Gousart. De qualquer forma, ele tenta imitar a prova do teorema fundamental do cálculo com o uso da (igualdade) do valor médio. Mas como podemos observar, o teorema fundamental do cálculo é uma espécie de integração por partes (tá, de certa forma o que eu to falando é bobagem :D).

\int_a^b f'=\int_a^b 1.f'= f|_a^b-\int 1'f=f(b)-f(a)

Onde em f|_a^b na verdade temos o termo de bordo do intervalo [a,b] uma vez que o vetor normal em b é +1 e o vetor normal em a é -1. Assim como é o teorema de Green, ou mais geralmente o teorema de Stokes. De qualquer maneira, veremos que a prova de Felipe, ainda tem um “toque diádico”.

Bem, vou divagar aqui e fazer um comentário nada a ver (o blog é meu mesmo hehe :D): como a frase acima indica, tais métodos são “faces opostas da mesma moeda”, no sentido que ao analisar uma EDP, podemos usar métodos diretos pra obter novas estimativas integrais, via integração por partes ou mesmo via métodos diádicos (talvez tendo que recorrer a uma análise diádica nos modos de Fourier). Nesse ponto de vista, é interessante ver neste teorema como os dois métodos são eficazes.

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Aplicações Harmônicas

“Be wise, generalize.” (Reed and Simon)

Como estava na China, e lá o acesso ao wordpress é bloqueado, os posts estão atrasados. Anyway, vamos lá.

Há algumas semanas atrás, meu primeiro aluno de mestrado defendeu sua dissertação, e nem preciso dizer que estou feliz com isso. Até porque o assunto é interessante e tem como extensão o, tão famoso hoje em dia, fluxo de Ricci.

Funções harmônicas tem um reconhecido impacto e importância em matemática, tanto em EDPs, holomorfia (p.ex. superfícies de Riemann), Análise Harmônica, Geometria entre outras.

Em sua forma mais simples considera-se uma função f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} com Laplaciano identicamente nulo, mais geralmente considera-se uma variedade Riemanniana (M,g) e uma função f:M\to \mathbb{R} tal que o operador de Laplace-Beltrami da variedade Riemanniana aplicado a f se anula em todos os pontos.

No primeiro caso temos a seguinte equação:

\Delta f=\sum_{i=1}^n \partial_{ii}f=0

Que é equivalente a:

Traço (D^2 f)=0

No segundo caso, temos uma expressão semelhante envolvendo a métrica g.

Uma pergunta natural é se o conceito de harmonicidade se estende para aplicações e não somente para funções. Isto é dada uma aplicação f:(M,g) \to (N,h) entre duas variedades Riemannianas, o que é o conceito de harmonicidade.

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Fluxos Robustamente transitivos em dimensão 3 (parte II)

Hoje continuamos a prova do teorema de Morales-Pacífico-Pujals. Lembrando que já dissemos como obter hiperbolicidade das órbitas periódicas e singularidades, estas últimas sendo do tipo Lorenz, e como obter a decomposição dominada.

Obtendo contração uniforme:

Primeiro, é um consenso geral que em teoria ergódica se algo vai pra infinito, ele vai exponencialmente rápido para infinito. Deste príncipio, é que obtemos a contração uniforme.

Mais precisamente, usando a compacidade do atrator podemos mostrar que:

\liminf_{t\to\infty} \|DX_t|_{E^s_x}\|=0 então existe T_0>0 tal que \|DX_{T_0}|_{E^s_x}\|<\frac{1}{2} uniformeme em x.

Iterando a estimativa acima e usando o algoritmo de Euclides segue que:

Existem c>0,0<\lambda<1 tais que \|DX_T|_{E^s_x}\|<c\lambda^T para todo T>0 e x.

Portanto a uniformidade é reduzida ao cálculo do \liminf acima. Usualmente, tentamos provar isto pro contradição, se o \liminf não é zero, então existe uma órbita com contração cada vez pior, ao longo de uma sequência de tempos, se com isto conseguirmos pertubar o sistema e obter desta sequência uma órbita não-hiperbólica, estamos feitos.

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